“Математика выявляет порядок,
симметрию и определённость,
а это — важнейшие
виды прекрасного.”

(Аристотель)

О геометрической мозаике

Здесь мы занимаемся геометрическими мозаиками. Строгого определения пока найти не удалось. Проще говоря, мозаиками, составленными из геометрических фигур. Материал фигур нас не интересует, рисунок на поверхности фигур присутствует всегда, а вот форма во всех случаях может и должна быть описана на языке геометрии.

С другой стороны, наши мозаики — компьютерные. Их фигуры возникают на экране как результат построения по вполне определённым алгоритмам, а перемещение и поворот фигур производится мышкой. Это ещё и игровые мозаики, сборка которых представляет главным образом игровой интерес. Но как знать? Выполняя построения в игре, можно делать математические наблюдения и обобщения. Так что такая игра, помимо прочего, стимулирует математическое мышление.

Наши мозаики построены из многоугольников и складываются в многоугольник, причём разрывы и накладки в готовой сборке обязательно отсутствуют. Границы всех многоугольников мозаики в собранном виде составляют шаблон мозаики. С точки зрения математика, именно шаблон представляет наибольший интерес. Для игры пригодны не слишком сложные и в чём-то "правильные" шаблоны. "Правильность" чаще всего означает наличие симметрии всего шаблона или некоторых его фрагментов.

Иногда (но вовсе не обязательно) наши мозаики являются частью бесконечного геометрического паркета. Есть и некоторые ограничения на геометрию мозаичных фигур, связанные с игровой спецификой. Об этом будет сказано ниже.

Игровые мозаики мы будем классифицировать по разным критериям. Самый простой для понимания и часто используемый критерий — по количеству фигур. Но он хорош лишь тогда, когда фигуры всех мозаик одинаковы по форме, или хотя бы приблизительно одинаковы.

В наших мозаиках будут задействованы фигуры разных форм, разных — даже в пределах одной мозаики. Но несмотря на это, создавая очередную мозаику для игры, мы всегда стремимся уменьшить разнообразие форм. Причина ограничения состоит в том, что одинаковые фигуры усложняют сборку, тем самым делая игру интереснее. Итак, наряду с количеством фигур, основой классификации мозаик может быть разнообразие их форм. Поэтому введём в рассмотрение новое понятие — формула мозаики. Формулу запишем в виде суммы, где каждое слагаемое — равно числу фигур определённой формы. Например, формула 8+4+6 означает, что мозаика состоит из 18 фигур, причём 8 из них — одной формы, 4 — другой и 6 — третьей.

Задумаемся на тем, как измерить сложность сборки той или иной мозаики. Те, кому довелось собирать картонные мозаики (паззлы), хорошо знают, что особенно сложны мозаики из большого количества элементов. По мере увеличения этого числа сложность растёт не просто быстро, а, как говорят физики и математики, нелинейно быстро, то есть с возрастающей скоростью. Таковы первые наблюдения.

Попытаемся оценить сложность количественно на основе математической науки, комбинаторики. В основу рассуждений мы закладываем гипотезу о том, что вся сложность возникает по причине неоднозначности сборки: одну и ту же фигуру можно установить в разные места, и при этом мозаика всё же будет заполнена, но с ошибками. Чтобы устранить ошибки, надо лишь поменять местами некоторые одинаковые по форме фигуры…

Допустим, мы имеем мозаику с формулой a+b+c. Тогда для подсчёта общего числа вариантов заполнения мы должны для каждой из трёх её форм посчитать число всех возможных перестановок, а результаты перемножить: a!*b!*c! (где знак восклицания означает математическую операцию, так называемый факториал). Среди всего числа вариантов только один является правильным, остальные же требуют исправления ошибок. Поэтому сложность выбора правильного варианта мы полагаем равной общему числу вариантов.

Я поверю в то, что Вы - математик, если Вы нашли ошибку в приведённых выше рассуждениях. Нет, дело вовсе не в строгости определения сложности, а в симметрии! Фигуры мозаики могут иметь ось симметрии порядка 2 и выше, то есть могут быть уложены в мозаику с разными углами поворота, что значительно расширяет число вариантов укладки, которые мы посчитали. Если бы фигуры одинаковой формы были бы одноцветными, то фактором симметрии вообще можно было бы пренебречь. Но в наших мозаиках на все фигуры нанесены фрагменты картинки, так что неправильный угол разворота и в самом деле является ошибкой.

Скорректируем формулу мозаики, полагая, что фигуры трёх названных форм имеют порядки оси симметрии m, n и k соответственно: am+bn+ck. В роли нижних индексов выступают порядки оси симметрии всех фигурных форм. Количество вариантов заполнения a!*b!*c!*ma*nb*kc .

В приведённом виде результаты вычислений окажутся слишком большими числами, которые трудно и неудобно даже записать для сравнения. Поэтому к комбинаторной сложности мы будем применять так называемую логарифмическую шкалу. Например мозаика из шести правильных треугольников имеет формулу 63 и комбинаторную сложность 6!*36=524880, которая в логарифмическом масштабе примерно равна log(524880)≅5,72. Логарифм берём по основанию 10, так что результат после логарифмирования близок к числу цифр аргумента. Таков стартовый уровень сложности, рекомендуемый "новичкам".

Шаблон мозаики

Примеры

На рисунке показан шаблон простой мозаики из шести одинаковых фигур-треугольников (так называемая "Пчела"). Шаблону соответствует сложность 5,72.

Новые шаблоны

Следите за обновлениями!

На сегодня в нашей коллекции представлено 32 шаблона мозаик со своими картинками. Последним был добавлен шаблон «Штат Юта»:

Название шаблона связано, главным образом, с темой рисунка, который будет нанесён на мозаику непосредственно перед началом игры.

Вы можете предложить автору сайта свою картинку или свой шаблон, и тем самым расширить представленную коллекцию.